vật lý

Momen quán tính của một số vật đồng chất

Mình sẽ chứng minh 4 công thức tính momen quán tính trong sgk Vật Lý 12, riêng với công thức tính momen quán tính của khối cầu đặc thì việc chứng minh còn cần phải sử dụng một công thức bên ngoài là công thức tính momen quán tính của mặt cầu nữa, vậy ở đây mình sẽ chứng minh tổng cộng 5 công thức.

Trước tiên là 1 kết quả nhỏ về mặt Đại Số để việc chứng minh phía sau được gọn nhẹ hơn (có thể bỏ qua không cần đọc phần này cũng được)

Xét đa thức tổng \displaystyle f(k)=\sum_{i=1}^kg(i) trong đó g(x) là đa thức hệ số nguyên có bậc m và hệ số của lũy thừa bậc cao nhất là a, khi đó f(x) là sẽ là đa thức hệ số nguyên bậc m+1 và hệ số ứng với lũy thừa bậc cao nhất là \frac{a}{m+1}

Chứng minh

  • Chứng minh nhận xét 1:  f(x) là đa thức hệ số nguyên có bậc m+1

Thật vậy, theo giả thiết ta có f(k+1)-f(k)=g(k+1) (*), nếu f(x) có bậc n thì vế trái của (*) có bậc n-1, mặt khác vế phải của (*) có bậc m, vậy n-1=m hay n=m+1

  • Chứng minh nhận xét 2: hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của f(x) là \frac{a}{m+1}  

Đặt f(x)=a_1x^{m+1}+a_2x^{m}+...+a_{m+1}x+a_{m+2}. Tiếp theo ta đồng nhất hệ số ở 2 vế của (*) thì cũng có được a_1=\frac{a}{m+1}

Tiếp theo sẽ là vấn đề chính của bài này: 5 công thức tính momen quán tính

1. Thanh khối lượng m có độ dài l, trục quay nằm ở 1 đầu thanh

Chia thanh làm k phần bằng nhau, như vậy mỗi phần có khối lượng m_i=m/k, phần thứ i tính từ trục quay ra có khoảng cách đến trục quay r_i=\frac{(2i-1)l}{2k}

Momen quán tính của thanh bằng tổng momen quán tính của các đoạn tạo nên nó (các đoạn này có thể xem như 1 điểm khi k tiến đến vô hạn )

\displaystyle I=\lim_{k \to \infty} \sum_{i=1}^k m_ir_i^2

Thay các giá trị m_ir_i đã tính ở trên và rút gọn ta được

{\displaystyle~I=\lim_{k\to\infty}ml^2\frac{1^2+2^2+...+(2k-1)^2}{4k^3}=\lim_{k\to\infty}ml^2(\frac{4k^3/3+...}{4k^3})=\frac{ml^2}{3}}

Trường hợp nếu trục quay nằm ở trung điểm của thanh, ta chia đôi thanh ban đầu thành 2 thanh nhỏ hơn, khi đó 2 thanh này đều có trục quay nằm ở 1 đầu mút, áp dụng công thức trên cho 2 thanh nhỏ ta được momen quán tính của thanh lớn là:

I=2.I'=2.\frac{1}{3}.(\frac{m}{2}).(\frac{l}{2})^2=\frac{ml^2}{12}

2. Momen quán tính của vành tròn hoặc mặt trụ rỗng

Ta sẽ chia vành tròn thành k cung bằng nhau, khi k chạy đến vô hạn thì xem các cung là các chất điểm. Phần này khá đơn giản nên mình sẽ không ghi ra, kết quả cuối cùng là

I=mR^2

3. Momen quán tính của đĩa tròn mỏng hoặc khối trụ đặc

Ta sẽ chia đĩa thành k lớp, mỗi lớp dày R/k, diện tích lớp thứ i tính từ tâm ra là S_i = \pi[(\frac{iR}{k})^2-(\frac{(i-1)R}{k})^2] nên khối lượng lớp thứ i tính từ tâm đĩa ra sẽ là m_i=m\frac{S_i}{\pi R^2} , khoảng cách từ tâm đến đường trung bình của lớp là r_i = \frac{(2i-1)R}{2k}

Momen quán tính của đĩa bằng tổng momen quán tính của các các lớp tạo nên nó (các lớp này có thể xem như các vành tròn khi k tiến đến vô hạn)

\displaystyle I=\lim_{k \to \infty} \sum_{i=1}^k m_ir_i^2

Thay các giá trị m_ir_i đã tính ở trên và rút gọn ta được

{\displaystyle~I=\lim_{k\to\infty}mR^2\sum_{i=1}^k\frac{(2i-1)^3}{4k^4}=\lim_{k\to\infty}mR^2\frac{2k^4+...}{4k^4}=\frac{mR^2}{2}}

4. Momen quán tính của mặt cầu (hình cầu rỗng) 

Xem các kết quả sắp được sử dụng ở đây

Ta sẽ tính momen quán tính của nửa mặt cầu. Dùng k-1 mặt phẳng vuông góc với trục quay, chia bán kính trùng với trục quay thành k phần bằng nhau, k-1 mặt phẳng này cắt nửa mặt cầu tại k-1 đường tròn, chia nửa mặt cầu thành k phần có diện tích bằng nhau và đều bằng 2\pi R. R/k=2\pi R^2/k, như vậy mỗi phần có khối lượng m_i= m. \frac{2\pi R^2/k}{4\pi R^2}=\frac{m}{2k} , mặt khác khoảng cách từ trục quay đến đường trung bình của phần thứ i tính từ tâm ra là r_i= \sqrt{R^2 - (\frac{(2i-1)R}{2k})^2}

Momen quán tính của nửa mặt cầu bằng tổng các momen quán tính của k vành tạo nên nó

\displaystyle I=\lim_{k \to \infty} \sum_{i=1}^k m_ir_i^2

Thay các giá trị m_ir_i đã tính ở trên và rút gọn ta được

{\displaystyle~I=\lim_{k\to\infty}mR^2(\frac{1}{2}-\sum_{i=1}^k\frac{(2i-1)^2}{8k^3})=mR^2(\frac{1}{2}-\lim_{k\to\infty}\frac{4k^3/3+...}{8k^3})=\frac{mR^2}{3}}

Vậy momen quán tính của cả mặt cầu là

I=\frac{2}{3}mR^2

5. Momen quán tính của khối cầu đặc

Tương tự như việc tính momen quán tính của đĩa tròn đặc, ta chia khối cầu thành k lớp có độ dày R/k, thể tích của lớp thứ i tính từ tâm ra là V_i=\frac{4}{3}\pi [(\frac{iR}{k})^3-(\frac{(i-1)R}{k})^3] , tương ứng với khối lượng m_i=m\frac{V_i}{4\pi R^3/3}=m[(\frac{i}{k})^3-(\frac{i-1}{k})^3] , bán kính của mặt cầu trung bình của lớp thứ i là r_i=\frac{(2i-1)R}{2k}

Momen quán tính của khối tròn được tính bằng tổng momen quán tính của các lớp (có dạng mặt cầu) tạo nên nó

\displaystyle I=\lim_{k \to \infty} \frac{2}{3}\sum_{i=1}^k m_ir_i^2

Thay các giá trị m_ir_i đã tính ở trên và rút gọn ta được

{\displaystyle~I=\frac{2}{3}mR^2\lim_{k\to\infty}\sum_{i=1}^k\frac{(3i^2-3i+1)(2i-1)^2}{4k^5}=\frac{2}{3}mR^2\lim_{k\to\infty}\frac{12k^5/5+...}{4k^5}=\frac{2}{5}mR^2}

About these ads
Standard

Gửi phản hồi của bạn ở đây:

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s